삼각함수에는 왜 공식이 많은가?
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 5월 27일 (목) 10:59 판
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개요
- 사인과 코사인은 원을 매개화하는 함수
- \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)
- 원은 군의 구조를 가짐.
- \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)
- 회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
- 삼각함수의 많은 공식들은 이 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
덧셈공식
- 삼각함수 항목 참조
\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)
\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)
복소지수함수
- \(e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)
회전변환을 통한 이해
- 평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다
\(\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) - \(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, \(\theta_1+\theta_2\) 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다
\(\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\) - 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다
타원함수의 경우
- 바이어슈트라스의 타원함수 는 타원곡선 을 매개화하며, 다양한 성질을 가진다
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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