오일러 치환

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 9일 (화) 18:39 판
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개요

 

  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
    \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환

 

  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\) 형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환
  • \(y^2=ax^2+bx+c\)를 \(t\)에 대한 유리함수로 매개화하는 것이 가장 중요한 아이디어이다. 
  • \(y-y_0 = t(x-x_0)\) passing through a point  \((x_0,y_0)\)

 

 

 

제1오일러치환
  • \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
  • \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
    \(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 


 

제2오일러치환
  • \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  • \(\int x^2\sqrt{1-x^2}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
    \(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
    \(\int -\frac{8 t^2 \left(-1+t^2\right) \left(1+3 t^2\right)}{\left(1+t^2\right)^5}\,dt\)
     

 

 

제3오일러치환
  • \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
  • \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
    \(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 

 

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