오일러 치환

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 10일 (수) 18:29 판
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개요
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 부정적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환
  • \(y^2=ax^2+bx+c\)를 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
  • 삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다

 

 

제1오일러치환
  • \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
  • 예
    \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
    \(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
    \(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 


 

제2오일러치환
  • \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  • 예
    \(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\)
    \(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
    \(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
    \(\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\)

 

 

제3오일러치환
  • \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
  • 예
    \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
    \(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
    \(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 

 

타원적분
  • 유리함수 R에 대한 \(R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d})\) 의 부정적분
    \(\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\)
    단, \(ax^3+bx^2+cx+d\)는 서로 다른 해를 가짐
  • 곡선\(ax^3+bx^2+cx+d\)

 

 

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