외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 30일 (월) 10:47 판
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개요

 

 

텐서공간
  • V : 벡터공간
  • \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
  • \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
  • \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
  • \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다

 

 

tensor algebra
  • \(T(V)\)

 

 

exterior algebra
  • 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
  • grading \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
  • \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\)

 

 

  • \(A_k(V)\) : the set of k-alternating forms on V
  • \(f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.\)
  • \(\Lambda^k(V^{*})\simeq\Lambda^k(V)^{*}\)
  • \(A_k(V)\simeq\Lambda^k(V)^{*}\)

(ΛkV)∗

Λk(V∗)

 

 

역사

 

 

 

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