이차곡선(원뿔곡선)

 

 

개요

• 곡선의 방정식이 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 형태로 주어지기 때문에, 이차곡선이라고 부름.
• 이차곡선은 모두 원뿔의 단면을 통해서 얻어지기 때문에, 원뿔곡선(원추곡선) 이라고 불려지기도 함.
• 이 두 가지 관점을 모두 가지고 이해하는 것이 좋다.

 

원뿔곡선

• 원뿔의 축과 단면이 이루는 각도에 따라 다른 곡선들이 얻어진다
• 원은 축과 단면이 수직인 경우에 얻어짐
• 쌍곡선은 축과 단면이 평행한 경우에 얻어짐
• 타원은 축과 단면이 수직, 평행하지 않고, 원뿔의 모선과 평행하지 않은 경우에 얻어짐
• 포물선은 단면이 원뿔의 모선과 평행한 경우에 얻어짐

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곡선의 방정식과 이차곡선

• 원뿔곡선의 방정식은 일반적으로 좌표평면에서 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\) 형태로 주어진다
• 위와 같이 주어진 이차식은 다음과 같은 곡선을 나타낼 수 있다
  
  • 공집합인 경우
  • 두 직선의 방정식이 곱해진 경우
  • 포물선
  • 타원
  • 원
  • 쌍곡선
• 판별식 \(\Delta=b^2-4ac\)
• 판별식을 통하여 이차곡선이 무엇인지를 알 수있다
  
  • \(\Delta<0\)인 경우, 타원
  • \(\Delta<0\)인 경우
  •  

 

 

하위페이지

• 이차곡선
  
  • 타원
    
  • 포물선
    

 

 

재미있는 문제

• 타원의 면적
• 타원의 둘레의 길이
  
  • 타원적분

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 변환
  
  • 평행이동
  • 회전변환

 

관련있는 다른 과목

• 물리
  
  • 행성운동과 타원
• 미술
  
  • 원근법
  • 타원과 인간

 

관련된 대학교 수학

• 선형대수학
  
  • 대칭행렬의 대각화
  • 고유벡터, 고유값
  • 이차형식의 대각화
• 대수기하학
  
  • 다항식으로 정의되는 도형에 대한 일반화 및 체계적인 공부

 

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블로그

• 원뿔곡선 vs 이차곡선
  
  • 피타고라스의 창

 

동영상 강좌

 

 

[한석원의 수리논술 포물선과 쌍곡선의 성질]

• 조x일보, 2007.07.05