합동수 문제 (congruent number problem)

\(a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n\)

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.

\((\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\)

\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.

디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 다음 타원곡선의 방정식을 얻는다.

\(y^2=x^3-n^2x\)

따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.
그러면 역으로 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

(정리)

자연수 \(n\) 은 congruent number 이다 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.

\(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이다.

\(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 에 대하여

\(a=|\frac{n^2-x^2}{y}|\), \(b=|\frac{2nx}{y}|\), \(c=|\frac{n^2+x^2}{y}|\)

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.

타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다
\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \)
따라서 n=1은 congruent number 가 아니다

5는 congruent number 이다
- 세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
- \(\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}\)
- 5는 가장 작은 congruent number이다

6은 congruent number이다
\(y^2=x^3-36x\)의 모든 정수해는\((x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (â3,\pm9), (â2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다.
사각 피라미드 퍼즐 항목 참조

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http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273 참조

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