엡슈타인 제타함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 10월 28일 (수) 03:58 판
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간단한 소개
  • Epstein 제타함수
    \(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))
  • 크로네커 극한 공식
    \(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)

 

 

 

이차형식과 제타함수
  • 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
    \(\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\)
  • \(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\) 인 경우 ( \(-\Delta=|\Delta|\) )
    \(E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\)
    \(\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\)
  • 크로네커 극한 공식을 적용하면 
    \(\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)))+O(s-1)\)
    여기서 
    \(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\), \(y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\)
     

 


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