푸앵카레 상반평면 모델
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 4일 (금) 19:13 판
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개요
- 쌍곡기하학의 모델
- \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)
- 리만 메트릭
\(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\) - 면적소
\(dA=\frac{dx\,dy}{y^2}\) - 두 점 사이의 거리
\(\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|}\) - isometry 군
\(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) - 가우스곡률 -1
- 라플라시안
\(\Delta=-y^2(\partial_x^2+\partial_y^2)\)
측지선
삼각형의 넓이
[/pages/3065168/attachments/2616929 hyperbolic_triangle.jpg]
- 이상삼각형(ideal triangle) \(D=pq\infty\)의 넓이
\(x(P)\) 를 점 \(P\)의 \(x\)좌표라 하고, \(x(p)=a\), \(x(q)=b\)라 두자.
\(A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'\)
\(x=\cos \theta\)로 치환, \(a=\cos (\pi-\alpha)\), \(b=\cos (\beta+\beta')\)을 사용하였음 - 이상삼각형(ideal triangle) \(D'=rq\infty\)의 넓이
위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다
\(A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'\)
(정리)
세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)인 쌍곡삼각형 \(\Delta\)의 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다
(증명)
\(A(\Delta)=A(D)-A(D')\)
테셀레이션
[/pages/3065168/attachments/2600953 dedekind1877.gif]
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_half-plane_model
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
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