확장하는 우리(expanding cage)에서 확산

흡수벽이 있을 때 확산하는 경우의 생존확률에 관한 글에서 양 옆 두 개의 흡수벽은 고정되어 있었습니다. 이 두 흡수벽을 우리(cage)라고 부릅니다. 그런데 우리의 크기가 시간이 흐르면서 커지면 어떻게 될까요?

어떤 벽도 없는 크기가 무한한 공간에서 한 곳에 몰려 있던 마구 걷개들이 확산하는 걸 생각해봅시다. 걷개들이 퍼져 있는 정도(걷개들 위치의 표준편차)는 시간이 t만큼 흐르면 대략 t의 제곱근 정도로 커집니다. 확장하는 우리(흡수벽)가 걷개들의 퍼진 정도보다 더 빨리 커진다면 걷개들은 우리에 부딪힐 가능성이 낮아서 실제로는 우리가 있는지 없는지 느끼지 못하겠죠. 반대로 우리가 커지는 정도가 걷개들이 퍼지는 정도보다 작다면, 걷개들은 우리의 한계로 인한 효과를 분명하게 느낄 겁니다.

우리의 위치를 L(t)라고 합시다.

\(L(t)\propto t^\alpha\)

α가 1/2보다 작은 경우에는 앞 글에서 구한 결과를 그대로 이용할 수 있습니다. 정확하게 푸는 건 아니고 어림하는 건데 이걸 단열 어림(adiabatic approximation)이라 합니다.