XY 모형

\(H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\vec S_i\cdot\vec S_j\)

위와 같은 하이젠베르크 모형에서 스핀을 2차원 평면 격자 위의 고전적 스핀으로 생각하겠습니다.

\(\vec S_i=(\cos\phi_i,\sin\phi_i,0)\to H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\cos(\phi_i-\phi_j)\)

이걸 XY 모형이라고 부릅니다. XY 평면 위에서 정의된 스핀이라 그렇게 이름이 붙여진 것 같네요. 온도가 매우 낮아서 스핀들이 거의 같은 방향이라고 합시다. 그럼 코사인 항을 전개할 수 있습니다.

\(H=-\frac{qNJ}{2}+\frac{J}{2}\sum_{\langle ij\rangle}(\phi_i-\phi_j)^2=E_0+\frac{J}{2a^{d-2}}\int d^dr\nabla\phi\cdot\nabla\phi\)

보시다시피 해밀토니안의 첫번째 항은 변수 φ와 무관하므로 그냥 상수로 처리했습니다. q는 이웃수입니다. 두번째 항은 이웃한 두 스핀의 각도 차이입니다. 두번째 항은 지난 글에서 소개한 띄엄띄엄 가우스 모형(DG)과 매우 비슷한 모양입니다. 차이가 있다면 DG에서 h는 정수였지만 여기서 φ는 실수이며 또한 0과 2π 사이의 값만을 갖습니다. 두 가지 차이가 있죠. 연속이냐 아니냐,