Nested radicals
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개요
라마누잔이 제시한 문제
- \(\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3\)
- 다음 수열의 극한
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\)
증명
먼저 수렴성을 증명하자. 다음과 같이 정의된 수열
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\) 은 위로 유계이다.
\(\sqrt{1+2 \sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+ (n-1)\sqrt{1+n} }}} \leq \sqrt{1+2 \sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+ (n-1)\sqrt{1+n(n+2)} }}}=3\)
\(n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}\)을 이용
\(\begin{eqnarray*}3 &=& \sqrt{1+2\cdot4}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot5}}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\\ &=& \cdots\end{eqnarray*}\)
수열의 크기 변화를 나타내는 그래프
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\)
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매쓰매티카 코드
- f[n_][x_]:=Sqrt[1+n*x]
a[1][x_]:=x
a[n_][x_]:=Composition[a[n-1],f[n]][x]
Table[a[n][x],{n,1,6}]
DiscretePlot[a[n][1],{n,1,50}]
- 결과
\(\left\{x,\sqrt{1+2 x},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 x}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 x}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 x}}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 x}}}}}\right\}\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
- Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.
관련논문
- Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911.
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