이토와 스트라토노비치

뭔가 해결되지 않은 문제가 머리 속을 굴러다니다 해야 할 일이 많음에도 갑툭튀 했습니다. 어쩔 수 없죠 뭐. "간단한 경제 모형에서 부의 응집(Wealth condensation in a simple model of economy)"이라는 제목의 <피지카 에이> 논문과 이들 저자의 이름을 딴 부쇼-메자르 모형(Bouchaud-Mezard model)의 풀이에 관한 문제입니다. 이전에도 이 모형을 제가 소개한 적이 있습니다.

\(\frac{dw_i(t)}{dt}=\eta_i(t)w_i(t)+\sum_{j\neq i}J_{ij}w_j(t)- \sum_{j\neq i}J_{ji}w_i(t)\)

이겁니다. 자세한 설명은 이전 글을 참고하세요. 저자들은 평균장 어림으로 이 문제를 푸는데요, J를 모두 똑같다고 가정하고, 위 식을 모든 i에 대해 더하고 N으로 나눠주면 우변의 J 항들이 날라갑니다.

\(\frac{d\langle w\rangle(t)}{dt}=\frac{1}{N}\sum_i\eta_i(t)w_i(t)\)

노이즈인 η도 각 i마다 달라서 이걸 그냥 다 같다고 가정해도 되는건지 모르겠지만, 일단 해봅시다. 또한 노이즈는 평균이 m이고 분산이 2σ²이라고 합니다. 블라블라 풀어줍니다.

\(\langle w\rangle(t)=\langle w\rangle(0)\exp(mt)\)

이럴 줄 알았는데, 논문에서는 다른 답을 제시합니다.

\(\langle w\rangle(t)=\langle w\rangle(0)\exp[(m+\sigma^2)t]\)

이 두 결과의 차이는 노이즈를 어떻게 '해석'할 거냐의 차이에서 오는 것으로 보입니다. 두 가지 해석이 있는데 이토(Ito) 해석과 스트라토노비치(Stratonovich) 해석입니다. 이 얘기도 예전(2008년 12월)에 제 블로그에서 한 적이 있습니다. 그때 자세히 짚고 넘어가지 않았던 부분을 오늘 짚어보겠습니다.

일단 한국어로 풀어보면, 순간적으로 툭툭 생기는 노이즈가 우리가 다루는 시스템에 영향을 줄텐데