렘니스케이트 곡선의 등분 (Lemniscatomy)

수학노트
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개요

렘니스케이트 사인과 코사인

  • 렘니스케이트 사인
    \(x=\int_{0}^{s}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)
  • 렘니스케이트 코사인
    \(x=\int_{c}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)
  • 관계식
    \(s (x)^2+c (x)^2+c (x)^2 s (x)^2=1\)
  • 덧셈공식
    \(s(x+y)=\frac{s(x) c(y)+c(x) s(y)}{1-s(x) c(x) s(y) c(y)}\)



렘니스케이트 타원함수

  • 렘니스케이트 사인함수 \(x=\phi(t)\)는 타원적분 \(t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 역함수로 정의된다
  • \(m\in\mathbb{Z}[i]\) 에 대하여, \(y=\phi(mt)\) 로 두면, \(mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}\) 을 만족한다
  • \(x=\phi(t)\)와 \(y=\phi(mt)\)는
    \(\frac{dy}{\sqrt{1-x^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 관계를 만족한다
  • 렘니스케이트 사인함수의 덧셈공식
    \(\phi(t+t')=\frac{\phi(t)\sqrt{1-\phi(t')^4}+\phi(t')\sqrt{1-\phi(t)^4}}{1+\phi(t)^2\phi(t')^2}\)
  • \(\phi(z)\) 는 다음 자코비 타원함수 와 같다
    \(\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)\)



Lemniscatomy

  • 삼각함수의 삼각함수의 배각공식 에 비유하면 적당하다
  • 렘니스케이트 타원함수의 덧셈공식으로부터 유도할 수 있다



3등분점

  • 렘니스케이트의 삼등분
    \(\phi(3\alpha)=-\phi\frac{\phi^8+6\phi^4-3}{1+6\phi^4-3\phi^8}\)
  • 위의 식으로부터 \(\phi^8+6\phi^4-3=0\) 의 해를 구하면, 렘니스케이트의 삼등분점을 구할 수 있다

렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy1.gif

  • 세 점의 좌표는 다음과 같이 주어진다
    \(\left(0,0\right)\)
    \(\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\)
    \(\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},-\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\)

5등분점

렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy2.gif

\[\left(\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1+\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}},\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1-\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}}\right)\]

 

 

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