띄엄띄엄 가우스 모형과 XY 모형의 이중성
개요
XY 모형에서 XY 모형과 쿨롱 기체 모형(CG)과 사인-고든 모형(SG)이 연관되어 있다고 얘기했고요, 또 가우스 모형과 사인-고든 모형에서는 사인-고든 모형과 띄엄띄엄 가우스 모형(DG) 사이의 관계를 얘기했습니다. 오늘은 DG와 XY가 이중성(duality)으로 연결되어 있다는 얘기를 하려고 합니다. 제가 태어나기도 전에 출판된 논문 [Knops77]을 참고했습니다.
띄엄띄엄 가우스 모형(DG)
논문 제목에는 SOS 모형으로 나와있지만 이게 DG입니다. 계속 DG라고 쓰겠습니다. 2차원 사각 격자 위의 각 자리 i에 정수의 값을 갖는 변수 hi가 있다고 합시다. 에너지는 이웃한 h의 차이에 관한 함수로 씁니다.
\[H=\sum_{\langle ij\rangle}V(h_i-h_j),\ n_{ij}=h_i-h_j\]
이웃한 두 h의 차이를 n으로 정의합니다. 사각 격자는 단위 정사각형을 이어붙여서 만들 수 있죠. 어떤 단위 정사각형의 네 꼭지점을 i, j, k, l이라고 하면 다음의 조건을 만족시킵니다.
\[\sum n_{ij}\equiv n_{ij}+n_{jk}+n_{kl}+n_{li}=0\]
각 n에 h들을 넣어보면 쉽게 알 수 있죠. 이 네 개의 자리로 둘러싸인 영역에 j'이라는 이름을 붙여줍니다. 즉 원래 사각격자의 이중 격자(dual lattice)의 각 자리를 j'처럼 따옴표를 붙여서 나타냅니다. 아래 그림을 참고하세요.
위 조건은 다음처럼 쓸 수도 있지요. \[\delta_{\sum n_{ij},0}=\int_0^{2\pi}\frac{d\phi_{j'}}{2\pi}\exp\left\{i\phi_{j'}\sum n_{ij}\right\}\]
좌변은 크로네커 델타입니다.
분배함수
그럼 이제 DG의 분배함수를 볼까요. \[ \begin{aligned} Z_{DG}&=\sum_{\{h_i\}}\exp\left[-\sum_{\langle ij\rangle}V(h_i-h_j)\right]\\ {}&=\sum_{\{n_{ij}\}}\exp\left[-\sum_{\langle ij\rangle}V(n_{ij})\right]\prod_{j'}\delta_{\sum n_{ij},0}\\ {}&=\int\prod_{j'}\frac{d\phi_{j'}}{2\pi}\sum_{\{n_{ij}\}}\exp\left[i\phi_{j'}\sum n_{ij}-\sum_{\langle ij\rangle}V(n_{ij})\right] \end{aligned} \]
지수 위의 nij들에 관한 합은 각 j'을 둘러싼 링크들에 대한 합이므로, 위 그림에서 보듯이 각 nij는 φi'과 φj'과 곱해져 있습니다. (i, j, i', j' 모두 편의상 붙인 기호입니다.) 그래서 각 nij에 대해서만 다시 써보겠습니다. \[\sum_{n_{ij}=-\infty}^\infty\exp\left[i(\phi_{i'}-\phi_{j'}) n_{ij}-V(n_{ij})\right]=\exp [-\tilde V(\phi_{i'}-\phi_{j'})]\]
좌변부터 보면, 부호가 약간 이상하죠. 각 n과 각 φ의 곱은 원래 부호가 다 똑같았는데 한놈의 부호가 음수가 되었습니다. 일종의 트릭(?) 같은데요, 수학적으로 문제가 되지는 않습니다. 여튼 이것들의 합을 우변처럼 쓰겠다고 합니다. 결과적으로 다음을 얻습니다. \[Z_{DG}=\int\prod_{j'}\frac{d\phi_{j'}}{2\pi}\exp\left[-\sum_{\langle i'j'\rangle}\tilde V(\phi_{i'}-\phi_{j'})\right]\]
DG는 임의의 정수로 정의된 h들의 해밀토니안에서 시작했으나 이중성 변환을 통해 0과 2π 사이의 실수이자 순환 변수인 φ들의 해밀토니안으로 바뀌었습니다.
지금까지 V(n)을 그냥 썼는데, 더 구체적으로 DG를 씁니다. \[V(n)=J_{DG}n^2\]
이로부터,
\[\sum_n \exp[i\phi n-J_{DG}n^2]\approx \int dx \exp[i\phi x-J_{DG}x^2]\propto \exp\left(-\frac{\phi^2}{4J_{DG}}\right)\]
이므로(원래 제대로 하면 위 좌변은 자코비 세타함수인데 걍 적분 형태로 써버렸습니다;;;), \[\tilde V(\phi)=\frac{\phi^2}{4J_{DG}}\equiv J_{XY}\phi^2\]
입니다. 이중성에 의해 두 J가 서로 역수의 관계에 있다는 결론을 얻습니다. 즉, 한 모형에서는 고온에서 일어나는 일이 다른 모형에서는 저온에서 일어나며, 그 반대도 성립합니다.
지금까지 2차원에서 DG(=SOS) 모형이 XY 모형과 이중성의 관계에 있다는 것을 보였습니다. 그렇다면 XY 모형에서 나타나는 KT 전이가 DG에서도 나타나야... 할 것 같습니다. 여기서 더 나가려면 XY 모형이든 SG 모형이든 RG 분석을 해야 하는데 나중에 시간나면 정리해보겠습니다. (아님 말고;;)
관련논문
- [Knops77] H. J. F. Knops, Exact Relation between the Solid-on-Solid Model and the XY Model, Phys. Rev. Lett. 39, 766 (1977) [링크]