원의 방정식

개요

원의 방정식은 쉽게 생가해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면다.

앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자.

먼저 임의의 점 O(a,b)와 P(x,y)가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자.

그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 이런\(r=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} \)식이 나온다.

자 이제 조금만 머리를 쓰면 된다.ㅎㅎ

양 변을 한번 제곱해보자.. \(r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\)그럼 이런 식이 나온다...

끝이다... 아마 언놈은 허탈감에 빠질수도있고.. 또 언넘은 넘쉬워 기쁠수도 있을것이다..

하지만 이건 아주 기초적인 것이니 둘다 착각하지말기 바란다.. 안그럼 나처럼 되니..

일단 위의식을 원을 방정식의표준형이라고한다.. 그럼 눈치 빠른넘은 아마 이런 질문을 할것이다.. "그럼 일반형은 뭔가요?"

이제부터 일반형을 찾아보도록하자..

일단 표준형\(r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\)을 찬찬히 보면 답이 나오지 않는다... 그냥 무식하게 풀면 일반형이 나온다.

표준형에서 우변을 모두 계산해서 풀어 해치면 \(r^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}\)이런식이 나온다..

그럼 보기 불편하니 우변을 좌변으로 옮겨서 깔끔하게 보이게 해보자..

그렇게 하면 \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0\)요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다.

먼저 -2a=A로 -2b=B \(a^{2}+b^{2}-r^{2}\)=C로 치환을 해보자..

그럼 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\)요렇게 아까보다 훨씬 깔끔한 식이 도출된다..

우리는 이 식을 원의 방정식의일반형이라고 부른다.

일반형과 표준형은 문제에 따라 유동적으로 사용해야하니 꼭 알아두도록 하자....

이제 증명도 해봤으니 원을 방정식을 좀더 파 해쳐 보자 ㅎㅎ

먼저 표준형에서 원의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r일경우

원의 방정식은 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 은근히 도움된다 ㅎㅎ

다음으로 일반형에서 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\)

식의 원의 중심 좌표를 구하라하면

\((\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})\)이렇게 표현할수 있다.

그리고 반지름의 길이는

\(r=\frac{\sqrt{{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}}}{2}\)요렇게 표현 할수 있다.. ㅎㅎ

아마도 응용하기는 자신이 직접 증명해보는것이 가장 효과적인 것일 것이다..