아페리(Apéry) 점화식

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 3월 28일 (목) 03:15 판
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개요


점화식

  • $n^2 u_{n}-(An^2-An+\lambda)u_{n-1}+B(n-1)^2u_{n-2}=0$ 꼴의 선형 점화식
  • $n^2 u_{n}-(7n^2-7n+2)u_{n-1}+8(n-1)^2u_{n-2}=0$
  • $n^2 u_{n}-(11n^2-11n+3)u_{n-1}-(n-1)^2u_{n-2}=0$


$\zeta(2)$

  • 다음 점화식을 생각하자

$$ n^2 u_{n}-(11n^2-11n+3)u_{n-1}-(n-1)^2u_{n-2}=0 \label{z2} $$

  • 수열 $A_n$과 $B_n$을 초기조건이 다음과 같이 주어진 점화식 \ref{z2}의 해라 하자
  • $A_0=1, A_1=3, B_0=0, B_1=1$

$$ \begin{array}{cccc} \text{} & A_n & B_n & B_n/A_n \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0.3333333333 \\ 2 & 19 & \frac{25}{4} & 0.3289473684 \\ 3 & 147 & \frac{1741}{36} & 0.3289871504 \\ 4 & 1251 & \frac{6585}{16} & 0.3289868106 \\ 5 & 11253 & \frac{13327519}{3600} & 0.3289868134 \\ 6 & 104959 & \frac{124308457}{3600} & 0.3289868134 \\ 7 & 1004307 & \frac{19427741063}{58800} & 0.3289868134 \\ 8 & 9793891 & \frac{2273486234953}{705600} & 0.3289868134 \\ 9 & 96918753 & \frac{202482451324891}{6350400} & 0.3289868134 \\ \end{array} $$

아페리의 정리

  • $A_n\in \mathbb{Z}$
  • $D_n^2 B_n \in \mathbb{Z}$ 여기서 $D_n\approx e^n$은 1부터 n까지의 최소공배수
  • $\lim_{n\to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \frac{1}{5}\zeta(2)$
  • $|\frac{B_n}{A_n} -\frac{1}{5}\zeta(2)|= O(\lambda^{-2n})$ 여기서 $\lambda=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^5$


$\zeta(3)$

  • 다음 점화식을 생각하자

$$ n^3u_n-(34 n^3 - 51 n^2 + 27 n - 5)u_{n-1}+(n-1)^3u_{n-2}=0\label{z3} $$

  • 수열 $A_n$과 $B_n$을 초기조건이 다음과 같이 주어진 점화식 \ref{z3}의 해라 하자
  • $A_0=1, A_1=5, B_0=0, B_1=1$

$$ \begin{array}{cccc} \text{} & A_n & B_n & B_n/A_n \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 0.2000000000 \\ 2 & 73 & \frac{117}{8} & 0.2003424658 \\ 3 & 1445 & \frac{62531}{216} & 0.2003428169 \\ 4 & 33001 & \frac{11424695}{1728} & 0.2003428172 \\ 5 & 819005 & \frac{35441662103}{216000} & 0.2003428172 \\ 6 & 21460825 & \frac{20637706271}{4800} & 0.2003428172 \\ 7 & 584307365 & \frac{963652602684713}{8232000} & 0.2003428172 \\ 8 & 16367912425 & \frac{43190915887542721}{13171200} & 0.2003428172 \\ 9 & 468690849005 & \frac{1502663969043851254939}{16003008000} & 0.2003428172 \\ \end{array} $$

아페리의 정리

  • $A_n\in \mathbb{Z}$
  • $D_n^3 B_n \in \mathbb{Z}$ 여기서 $D_n\approx e^n$은 1부터 n까지의 최소공배수
  • $\lim_{n\to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \frac{1}{6}\zeta(3)$
  • $|\frac{B_n}{A_n} -\frac{1}{6}\zeta(3)|= O(\lambda^{-2n})$ 여기서 $\lambda=\left(1+\sqrt{2}\right)^4$


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