격자의 세타함수

정의

• 격자 \(L\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함\[\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}\]
• 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.

자코비 세타함수의 경우

• 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수\[\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\]
• 자코비 세타함수를 얻는다

세타함수의 모듈라 성질

(정리)

rank가 2n의 even unimodular 격자 \(L\)에 대하여 , 세타함수 \(\theta_L\) 은 weight n인 모듈라 형식이 된다.

(증명)

먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 만족된다. ( \(\theta_L(i\infty)=1\) 도 알 수 있음.)

포아송의 덧셈 공식을 사용하자.

메모

• http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/
• Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms
• http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/thetafunctions.pdf

관련된 항목들

• 자코비 세타함수
• 리치 격자(Leech lattice)
• 모듈라 형식(modular forms)