대칭군 S3
개요
- 원소의 개수가 3인 집합의 전단사함수들로 이루어진 크기가 6인 군
- 원소는 다음과 같다
$$ \begin{array}{c} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} $$
presentation
- 생성원 \(\sigma_1=(1\,2),\quad \sigma_{2}=(2\,3)\)
- 관계식
- \({\sigma_i}^2 = 1\)
- \(\sigma_1\sigma_{2}\sigma_1 = \sigma_{2}\sigma_1\sigma_{2}\) 이 조건은 \((\sigma_1\sigma_{2})^3=1\) 로 쓸 수 있다
- 아래에서는 다음의 생성원을 사용
- $\sigma=\sigma_1=(1\,2),\quad \tau=\sigma_1\sigma_2=(1\,2\,3)$
- $\sigma^2=\tau^3=1,\quad \sigma \tau \sigma=\tau^2$
지표 테이블
- 대칭군 \(S_3\) 의 지표 테이블
\begin{array}{c|ccc} & (1) & (12) & (123) \\ \hline \{3\} & 1 & 1 & 1 \\ \{2,1\} & 2 & 0 & -1 \\ \{1,1,1\} & 1 & -1 & 1 \end{array}
표준 표현(standard representation)
- $S_3$의 2차원 기약 표현 $\rho : S_3\to \rm{GL}(V)$
$$ \rho(\sigma)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right), \quad \rho(\tau)=\left( \begin{array}{cc} \omega & 0 \\ 0 & \omega ^2 \\ \end{array} \right) $$ 여기서 $\omega=e^{2\pi i/3}$
대칭곱으로 얻어지는 표현
- 대칭곱 $\operatorname{Sym}^k V$의 지표 $\chi_{\operatorname{Sym}^k}$
- 2변수의 $k$차 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial) $h_k(x_1,x_2)$을 이용하여 지표를 계산할 수 있다
$$ \begin{array}{c|c} h_0\left(x_1,x_2\right) & 1 \\ h_1\left(x_1,x_2\right) & x_1+x_2 \\ h_2\left(x_1,x_2\right) & x_1^2+x_2 x_1+x_2^2 \\ h_3\left(x_1,x_2\right) & x_1^3+x_2 x_1^2+x_2^2 x_1+x_2^3 \\ h_4\left(x_1,x_2\right) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_2^3 x_1+x_2^4 \\ h_5\left(x_1,x_2\right) & x_1^5+x_2 x_1^4+x_2^2 x_1^3+x_2^3 x_1^2+x_2^4 x_1+x_2^5 \end{array} $$
- $g\in S_3$의 표준 표현 $V$에서의 고유값이 $\lambda_1,\lambda_2$로 주어지면, $\chi_{\operatorname{Sym}^k}(g)=h_k(\lambda_1,\lambda_2)$가 된다
- 테이블
$$ \begin{array}{c|c|c|c} k & \chi_{\operatorname{Sym}^k}((1)) & \chi_{\operatorname{Sym}^k}((12)) & \chi_{\operatorname{Sym}^k}((123)) \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 4 & 5 & 1 & -1 \\ 5 & 6 & 0 & 0 \\ 6 & 7 & 1 & 1 \\ 7 & 8 & 0 & -1 \\ 8 & 9 & 1 & 0 \\ 9 & 10 & 0 & 1 \end{array} $$
- $\operatorname{Sym}^{k+6} V\cong \operatorname{Sym}^k V\oplus \mathbb{C}S_3$이 성립한다
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