Lectures on dilogarithm function

overview

volumes of hyperbolic 3-manifolds
special values of Dedekind zeta functions

introdcution

definition of dilogarithm function
analytic continuation
Bloch-Wigner dilogarithm function
functional equations
hyperbolic volumes
values of the Dedekind zeta function at s=2

다이로그 함수는 복소수 $|z|<1$에 대하여 다음과 같이 정의됨\[\operatorname{Li}_ 2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]\[|z|\leq 1\] 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, $|z|\leq 1$에서 연속
다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능\[\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \] for $z\in \mathbb C-[1,\infty)$

Rogers dilogarithm

$x\in (0,1)$에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의

\[L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy\]

$(-\infty,0],[1,+\infty)$를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
$dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]$

Borel's regulator

Let $F$ be a number field with $[F:\mathbb{Q}]=r_1+2r_2$
Borel constructed a map

$$ K_{2i-1}(F) \to \mathbb{R}^{d_{i}} $$ where $d_i = r_2$ or $r_1+r_2$ depending on the parity of $i$

this can be used to show
- $\operatorname{rank} K_3 =r_2$
- $\operatorname{rank} K_5=r_1+r_2$
- $\operatorname{rank} K_7=r_2$
let $\mathcal{O}_{F}$ be the ring of integers of $F$
for any field L of characteristic zero, $K_{i}(\mathcal{O}_{F})\otimes_{\Z}L$ is naturally isomorphic to $K_{i}(F)\otimes_{\Z}L$ for $i>1$
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1354171
https://books.google.nl/books?id=ru7BywKC1d4C&pg=PA475&lpg=PA475&dq=Values+of+zeta-functions+at+integers,+cohomology+and+polylogarithms&source=bl&ots=BznObLSgR-&sig=X9LeM98z4cxje_axpCZjeUaY66U&hl=en&sa=X&ei=5rCMU-bqNMLwPInpgLgH&redir_esc=y#v=onepage&q=Values%20of%20zeta-functions%20at%20integers%2C%20cohomology%20and%20polylogarithms&f=false

Bloch-Wigner dilogarithm

Let us define a variant of the dilogarithm function : the Bloch-Wigner dilogarithm function. It is given by

$$D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z).$$

It is a real analytic function on $\mathbb{C}$ except at 0 and 1, where it is continuous but not differentiable.
Since $D(\bar{z})=-D(z)$, it vanishes on $\mathbb{R}$.
It satisfies the following functional equations :

\begin{equation}\label{functid1} D(x)+D(1-xy)+D(y)+D(\frac{1-y}{1-xy})+D(\frac{1-x}{1-xy})=0, \end{equation} \begin{equation}\label{functid2} D(x)+D(1-x) =D(x)+D(\frac{1}{x})=0. \end{equation}

regulator in algebraic K-theory

The Bloch-Wigner dilogarithm $D(z)$ can be used to define a map from $\mathcal{B}(\mathbb{C})$ to $\mathbb{R}$.
For $\xi=\sum_{i} n_i[x_i] \in \mathcal{B}(\mathbb{C})$, let $D(\xi)=\sum_{i} n_i D(x_i)$.
By (\ref{functid1}) and (\ref{functid2}), it is well-defined.
Let $F$ be a number field of degree $r_1+2r_2$ over $\mathbb{Q}$ where $r_1$ denotes the number of real embeddings and $r_2$ the number of complex non-real embeddings up to conjugation.
For an embedding $\sigma : F\hookrightarrow \mathbb{C}$ and $\xi \in \mathcal{B}(F)$, we may consider $D\left(\sigma(\xi)\right)$.
If $D\left(\sigma(\xi)\right)=0$ for all such embeddings $\sigma$, then $\xi \in \mathcal{B}(F)$ is a torsion element in $\mathcal{B}(F)$.
This is a consequence of the known i

background

다른게 아니라 저랑 강원대 강순이 박사님이랑 최근에 Zagier 교수님 쓰신 dilogarithm 논문에 관심이 생겼는데 quantum dilogarithm을 포함해서 자기에 교수님 논문 내용을 강연해줄 수 있는지 부탁드리고자 편지드려요.
Bloc 그룹도 강의해줄 수 있으면 더 좋지만, 아니면 남 추측 관련해서 공부했던 내용이라도 강의해주면 많은 도움이 될 것 같아요.
많지는 않지만, 저나 강박사님이 강연료도 지급할 수 있습니다.
언제 서울에 있게 될는지 몰라서 조심스럽지만, 시간이 될 때 강연 꼭 좀 부탁드릴께요.
자기에 교수님 dilogarithm 논문을 읽는데, 부끄럽지만 무슨 말인지 전혀 모르겠더라고요.
q가 나오는 부분과 점근식 부분은 그래도 알겠는데, 나머지 부분들은 능력 밖이라 도움 받을 수 있나해서 여쭤본 겁니다.
그러니까 Bloc 그룹도 이 논문에 나오는 정도 이해할 수 있으면 저는 만족이에요.
quantum dilogarithm 쪽으로 무언가 더 해볼 여지가 있는지 궁금해서 우선 자기에 교수님 논문부터 시작해보려고 했었는데, 시작부터 어렵네요

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