교차비(cross ratio)

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교차비
  • 사영기하학의 기본개념
  • 네 복소수 \(z_1,z_2,z_3,z_4\)에 대하여 다음과 같이 정의됨.

\((z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}\)

  • \(z_4=\infty\) 인 경우
    \((z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}\)

 

 

 

대칭군과 교차비
  • 대칭군 (symmetric group)은 \(\{1,2,3,4\}\)에 작용한다
  • 이 때 조화비는 다음과 같이 변한다
    \((z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda\\)
    \((z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}\)
    \((z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}}\)
    \((z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\)
    \((z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}}\)
    \((z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}\)
  • 즉 대칭군에 의해 다음 값을 가질 수 있다
    \( \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\)

 

 

사영기하학과 교차비

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