모츠킨 수 (Motzkin number)

개요

• 원 위에 n개의 점이 주어져 있을 때, 서로 만나지 않도록 두 점 사이의 호를 그리는 방법의 수 \(M_n,\quad n=0,1,2\cdots\)
• 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, ...

생성함수

• 생성함수 \(M(z)=\sum_{n=0}^{\infty}M_n z^n\)는 다음의 함수방정식을 만족한다

\[ M(z)=1+z M(z)+(z M(z))^2 \]

• 멱급수전개

\[ M(z)=\frac{1-z-\sqrt{(1+z) (1-3 z)}}{2 z^2}=1+z+2 z^2+4 z^3+9 z^4+21 z^5+51 z^6+\cdots \]

점근급수

• 다음이 성립한다

\[ M_n\sim \sqrt{\frac{3}{4 \pi n^3}} 3^n \left(1-\frac{15}{16 n}+\frac{505}{512 n^2}-\frac{8085}{8192 n^3}+\frac{505659}{524288 n^4}+O(n^{-5})\right) \]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxakM3c2ctRDlrUjQ/edit
• http://oeis.org/A001006
• http://demonstrations.wolfram.com/ChordDiagramsForMotzkinNumbers/

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Motzkin_number

수학용어번역

• Motzkin - 발음사전 Forvo

관련논문

• Kuznetsov, Alexander, Igor Pak, and Alexander Postnikov. "Trees associated with the Motzkin numbers." journal of combinatorial theory, Series A 76.1 (1996): 145-147.
• Donaghey, Robert, and Louis W Shapiro. 1977. “Motzkin Numbers.” Journal of Combinatorial Theory, Series A 23 (3) (November): 291–301. doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6.