매듭이론 (knot theory)
개요
- 매듭(knot)
- 3차원 상에 놓인 원과 위상동형인 곡선, 또는 3차원 상에 놓인 자기자신과 만나지 않는 닫힌 곡선
- 고리(link)
- 동위(isotopy)
- 3차원 상에서 매듭을 끊지 않는 연속적인 변형
- 매듭 diagram
- 라이데마이스터 변형
- 20세기말에 통계역학, 양자군, 양자장론과의 관계가 발견되어 큰 발전
중요한 문제
- 주어진 두 매듭이 동위관계에 있는지를 판단하는 문제
- 매듭의 분류
- 중요 미해결 문제
- Does there exist a knot in R3, different from the unknot , whose Jones polynomial is equal to 1?”
매듭과 고리의 예
- trivial 매듭 (unknot)
- 호프 링크 (Hopf link)
- 화이트헤드 링크(Whitehead link)
- 8자매듭(figure eight)
- 세잎매듭(trefoil)
- 고르디우스의 매듭(Goardian Knot)
매듭 diagram
- 3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐
라이데마이스터 변형
- 매듭 diagram 에 가하는 변형
- 매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다
- 매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 흔히 사용
- 라이데마이스터 변형 1 - disapperanace of a little loop
- 라이데마이스터 변형 2 - twin crossing 의 제거
- 라이데마이스터 변형 3 - 크로싱 위로 thread의 이동
라이데마이스터 변형 I | 라이데마이스터 변형 II | 라이데마이스터 변형 III |
불변량
- 동위관계에 있는 두 매듭에 같은 값을 주는 양
- 동의관계에 있는 매듭에는 같은 다항식이 대응되나, 다항식이 같다고 매듭이 동위관계에 있다고는 말할수 없다
- 서로 다른 매듭을 구분할 수 있는 더 강력한 불변량을 찾는 것은 매듭이론의 중요한 주제이다
- 예
- 알렉산더-콘웨이 다항식
- HOMFLY 다항식
- 존스 다항식
- 바실리예프 다항식
- 실타래 관계를 이용하여 정의되는 경우가 많다
실타래 관계 (skein relation)
- 나머지 부분이 같고, 한 교차점에서만 다른 매듭의 oriented diagram을 실타래 diagram이라 한다
- 유향매듭 L이 있을때, 다음과 같이 \(L_{+},L_{-},L_{0}\) 을 정의한다
- 다항식으로 정의되는 여러 불변량들은 이 세 실타래들이 만족시키는 관계를 가지며, 이를 실타래 관계라 한다
- 불변량을 재귀적으로 정의할 수 있게 된다
다항식 불변량의 예
알렉산더-콘웨이 다항식
- 각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 \(\nabla(\cdot)\)
- 실타래 관계(skein relation)\[\nabla(O) = 1\]\[\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)\]
존스 다항식
- 각 매듭에 대해 정의되는 \(t^{1/2}\)를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식 \(V(\cdot)\)
- 실타래 관계(skein relation)\[V(O) = 1\]\[(t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0) = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-})\]
홈플리 (HOMFLY) 다항식
- HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다
- 알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식의 일반화
- 매듭에 정의되는 이변수다항식 \(P(\cdot)\)
- 실타래 관계
역사
- 1984년 존스 다항식
- 1988년 위튼이 존스 다항식을 양자장론의 틀로 설명[Witten1989]
- 1990년 존스, 위튼 필즈메달 수상
- 수학사 연표
메모
- Markov moves in TeX
- http://www.ams.org/featurecolumn/archive/knots3.html
- http://www.hanyang.ac.kr/admission/scholar/2004/13-ho/sub2_3.htm
- http://www.khugnews.co.kr/wiki/신문:169호_과학학술
- http://www.cs.toronto.edu/~mackay/conway.pdf
- examples www.cs.columbia.edu/~cs6204/files/Lec9b,10.pdf
관련된 항목들
- 양자군 (quantum group)
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxckZkTWJWUTNqQXc/edit
- http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Jones_Polynomial
- http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Coloured_Jones_Polynomials
- http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Further_Knot_Theory_Software
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/매듭_이론
- http://en.wikipedia.org/wiki/knot_theory
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_knot_theory_topics
- http://en.wikipedia.org/wiki/Link_(knot_theory)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Reidemeister_move
- http://en.wikipedia.org/wiki/Skein_relation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander-Conway_polynomial
- http://en.wikipedia.org/wiki/Jones_polynomial
- http://en.wikipedia.org/wiki/HOMFLY_polynomial
- http://en.wikipedia.org/wiki/Planar_algebra
리뷰, 에세이, 강의노트
- Knots and Quantum Theory
- Edward Witten, December 15, 2010
- 대중강연
- J. D. Roberts. Knots Knotes
- The Jones Polynomial
- V.Jones, 2005-8[1]
- 매듭론
- 고기형, 대한수학회지 2000-11
- Knots and physics
- Kauffman, 1989
관련논문과 소개글
- [Witten1989]Quantum field theory and the Jones polynomial
- Edward Witten, Comm. Math. Phys. Volume 121, Number 3 (1989), 351-399
- On knot invariants related to some statistical mechanical models.
- V. F. R. Jones, 1989
- A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras
- Vaughan F. R. Jones, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 12, Number 1 (1985), 103-111.
관련도서
- Knots: mathematics with a twist
- A. B. Sossinsky
- The Geometry and Physics of Knots
- Atiyah, Michael
관련링크와 웹페이지
관련기사
- Unknotting knot theory
- Julie Rehmeyer, ScienceNews, October 31st, 2008
- 마음을 엮는 매듭
- 이광재, 광주드림, 2009-3-4
- Mathematicians Link Knot Theory to Physics
- GINA KOLATA, NYT, February 21, 1989
블로그
- Jones’ Polynomial
- Tangled web, 2009-08-06
메타데이터
위키데이터
- ID : Q849798