단진자의 주기와 타원적분

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 4월 30일 (금) 16:14 판
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개요
  • 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐
    \({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \)
  • 보통의 경우, \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\)의 근사식을 이용하여 다음과 같은 미분방정식을 생각함
    \(d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\)
  • 하지만 이러한 근사를 사용하지 않고 주기를 구하기 위해서는, 타원적분이 필요

 

 

단진자의 주기
  • 단진자의 주기는 다음과 같이 주어짐
    \(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\)
    여기서 다음과 같은 치환을 사용하자.
    \(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\)
    \(\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\)
    그러면,
    \(\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi\)
    \(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}\)
    \(\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi\)
    \(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi\)

 

 

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