르장드르 다항식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 12월 13일 (월) 12:24 판
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개요
  • 물리학에서 많이 등장하는 함수의 하나
  • 르장드르 미분방정식의 해로 얻어짐
  • 구간 \([-1,1]\)에서 \(\text{L}^2\) 내적에 의해 직교성을 가짐

 

 

르장드르 미분방정식

\({d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0\)

 

 

로드리게즈 공식
  • 르장드르 다항식을 얻는 직접적인 방법
    \(P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]\)

 

 

3항 점화식

\(P_0(x)=1\), \(P_1(x)=x\)

\((n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\)

 

 

생성함수

\(\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n = 1+x t+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3 x^2}{2}\right) t^2+\left(-\frac{3 x}{2}+\frac{5 x^3}{2}\right) t^3+\frac{1}{8} \left(3-30 x^2+35 x^4\right) t^4+\frac{1}{8} \left(15 x-70 x^3+63 x^5\right) t^5+\cdots\)

 

직교성

 

 

 

부분적분에의 응용

 

 

 

 

목록

P_0(x)=1
P_1(x)=x
P_2(x)=1/2 (-1+3 x^2)
P_3(x)=1/2 (-3 x+5 x^3)
P_4(x)=1/8 (3-30 x^2+35 x^4)
P_5(x)=1/8 (15 x-70 x^3+63 x^5)
P_6(x)=1/16 (-5+105 x^2-315 x^4+231 x^6)
P_7(x)=1/16 (-35 x+315 x^3-693 x^5+429 x^7)
P_8(x)=1/128 (35-1260 x^2+6930 x^4-12012 x^6+6435 x^8)
P_9(x)=1/128 (315 x-4620 x^3+18018 x^5-25740 x^7+12155 x^9)
P_{10}(x)=1/256 (-63+3465 x^2-30030 x^4+90090 x^6-109395 x^8+46189 x^10)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

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