매듭이론 (knot theory)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 8일 (월) 08:27 판
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개요
  • 매듭(knot)
    • 3차원 상에 놓인 원과 위상동형인 곡선, 또는 3차원 상에 놓인 자기자신과 만나지 않는 닫힌 곡선
  • 고리(link)
  • 동위(isotopy)
    • 3차원 상에서 매듭을 끊지 않는 연속적인 변형
  • 매듭 diagram
  • 라이데마이스터 변형
  • 20세기말에 통계역학, 양자군, 양자장론과의 관계가 발견되어 큰 발전

 

 

중요한 문제
  • 주어진 두 매듭이 동위관계에 있는지를 판단하는 문제
  • 매듭의 분류

 

 

매듭과 고리의 예

 

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매듭 diagram
  • 3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐

 

 

라이데마이스터 변형
  • 매듭 diagram 에 가하는 변형
  • 매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다
  • 매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 흔히 사용
  • 라이데마이스터 변형 1 - disapperanace of a little loop
  • 라이데마이스터 변형 2 - twin crossing 의 제거
  • 라이데마이스터 변형 3 - 크로싱 위로 thread의 이동

 

라이데마이스터 변형 I 라이데마이스터 변형 II 라이데마이스터 변형 III

 

 

 

불변량
  • 동위관계에 있는 다항식에 대해서는 같은 값을 주는 양
  • 실타래 관계 (skein relation)
    [[|Skein (HOMFLY).svg]]


  • 알렉산더-콘웨이 다항식
  • HOMFLY 다항식
  • 존스 다항식
  • 바실리예프 다항식
  • 동의관계에 있는 매듭에는 같은 다항식이 대응되는 불변량이나, 다항식이 같다고 매듭이 동위관계에 있다고는 말할수 없다

 

 

 

알렉산더-콘웨이 다항식
  • 각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 \(\nabla(\cdot)\)
  • 실타래 관계(sk
    \(\nabla(O) = 1\)
    \(\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)\)

 

 

존스 다항식
  • 각 매듭에 대해 정의되는 \(t^{1/2}\)를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식 
  • 실타래 관계
    \(V(O) = 1\)
    \((t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0) = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-})\)
  •  

 

 

 

홈플라이(HOMFLY) 다항식
  • HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다
  • 매듭에 정의되는 이변수다항식 \(P(\cdot)\)
  • 실타래 관계
     

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

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