미디의 정리(Midy's theorem)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 12월 5일 (월) 10:49 판
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개요
  • 142857과 같은 수에서 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해
    • 1+8=4+5=2+7=9
    • 142 + 857=999
    • 14+28+57=99

 

 

예: 142857

 

 

순환마디의 길이가 2의 배수일때
  • 소수 p에 대하여, 분수 a/p  (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자.
    \(1\leq i \leq n\) 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 이 성립한다.
    또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.

 

(증명)

분수 a/p  (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 생각하자.

\(g_k \equiv a10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=a\) 이다.

순환마디의 길이가 2n이면, \(10^n \equiv -a \pmod p\) 가 성립하므로, \(g_n=p-a\) 임을 안다.

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

 

 

예 : 1176470588235294
  • p=17
  • 2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
  • 11764705 + 88235294 = 99999999

 

 

순환마디의 길이가 3의 배수일 때
  • 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자.
    \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 가 성립한다

 

(증명)

순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.

\(g_k \equiv 10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=1\) 이다.

\(g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p\), \(g_n^3 \equiv 1 \pmod p\)  이므로, \(g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p\) 이다.

따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\) 또는 \(g_0+g_n+g_{2n}=2p\)가 성립한다.

그러나 \(0\leq g_k \leq p-1\) 이므로 \(1+g_n+g_{2n}=2p\)일 수 없다. 따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\)

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

  • 일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.
    분수 a/p  (\(1\leq a \leq p-1\)) 또는 (p-a)/p  (\(1\leq a \leq p-1\))
    둘 중의 하나는 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 
    다른 하나는, \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99\) 를 만족한다

 

 

예 : 052631578947368421
  • p=19
    • 1/19=0.052631578947368421052...
    • 52631+578947+368421=999999
  • p=7
    • 3/7 = 0.4285714286...
    • 42+ 85+71=198
    • 4/7 = 0.5714285714
    • 57+14+28=99

 

 

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