복소 이차 수체의 데데킨트 제타함수 special values

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 6월 1일 (금) 10:16 판
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\(s=1\) 에서의 값
  • 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
  • 복소이차수체의 경우
    \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
    \(d_K=-q\)
    \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
    \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
    \(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\)
    \(h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
     
    \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\)  , \(q \geq 5\) ,  \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
    \(d_K=-4q\)
    \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
    \(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\)
    \(h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)

 

 

\(s=2\) 에서의 값
  • 복소이차수체의 경우
    \(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
    \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
    여기서 \(D(z)\)는 Bloch-Wigner dilogarithm

 

 

 

  • \(s=1\) 에서의 \(L_{d_K}'(1)\)의 값
    • L-함수의 미분
      \(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)

 

 

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