사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 1월 2일 (월) 16:30 판
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개요
  • 사각격자를 도미노로 덮는 문제
  • planar bipartite graph 의 perfect matching 문제를 고려할 수 있다
  • 그래프의 적당한 weighted adjacency matrix 와 그 파피안(Pfaffian) 을 통해 답을 표현할 수 있다
  • 통계물리에서는 dimer configuration = covering of a graph by pairs of fermions connected by an edge

 

 

2x2 격자
  • 다음 두 가지 경우가 존재
    [/pages/10224838/attachments/5728746 dimer1.gif]
  • 다음 행렬의 파피안(Pfaffian) 을 구해서 경우의 수를 얻을 수 있다
    \(\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)\)

 

 

\(\left( \begin{array}{cccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 \\ -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} \\ -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} \\ 0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)\) 의 파피안은 \(t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\) 으로 주어진다. 파피안의 각 항은 도미노 타일링에 대응된다. 

 

 

3x2 격자
  • 다음 세 가지 경우가 존재
     [/pages/10224838/attachments/5728744 dimer2.gif]
  • 다음 행렬의 파피안은 3이다
    \(\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)\)

 

\(\left( \begin{array}{cccccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} & 0 & 0 \\ -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & 0 \\ 0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & 0 & -t_{4,6} \\ 0 & 0 & -t_{3,5} & 0 & 0 & t_{5,6} \\ 0 & 0 & 0 & t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)\) 의 파피안은 \(t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\) 이다.

 

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