사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem)

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==개요

사각격자를 도미노로 덮는 문제
planar bipartite graph 의 perfect matching 문제로 생각할 수 있다
그래프의 적당한 weighted adjacency matrix 와 그 파피안(Pfaffian) 을 통해 답을 표현할 수 있다
통계물리에서는 dimer configuration = covering of a graph by pairs of fermions connected by an edge

==2x2 격자

다음 두 가지 경우가 존재
[/pages/10224838/attachments/5728746 dimer1.gif]
다음 행렬의 파피안(Pfaffian) 을 구해서 경우의 수를 얻을 수 있다
\(\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{cccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 \\ -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} \\ -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} \\ 0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)\) 의 파피안은 \(t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\) 으로 주어진다. 파피안의 각 항은 도미노 타일링에 대응된다.

==3x2 격자

다음 세 가지 경우가 존재
[/pages/10224838/attachments/5728744 dimer2.gif]
다음 행렬의 파피안은 3이다
\(\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{cccccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} & 0 & 0 \\ -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & 0 \\ 0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & 0 & -t_{4,6} \\ 0 & 0 & -t_{3,5} & 0 & 0 & t_{5,6} \\ 0 & 0 & 0 & t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)\) 의 파피안은 \(t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\) 이다.

==역사

==메모