생성함수

수열 에 대한 생성함수(generating function)는
(생성함수가 수렴하지 않을 때도 있지만, 수렴하는 경우에만 다룬다고 생각하도록.)
(무한)수열을 함수 하나 안에 쑤셔 넣은(!) 것. 수열을 다루기가 굉장히 편해진다.
수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
해석적정수론의 중요한 아이디어

1. 수열 \(\{a_r\}\)이 주어져 있다.(유한수열일 수도 있고, 무한수열 일수도 있다)
위에서 다뤘던 경우는 수열이

\(a_r = {n \choose r}\)

로 정의된 유한수열이다.

2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열이면 다항식)

\(f(x)=\sum_{r=0}^{\infty} a_r x^r\)

그래서 우리의 경우는

\(f(x)= {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)

를 만들었다.

3. 함수를 구한다.

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