수열

간단한 요약

• 숫자를 나열한 것. 보통 <일정한 규칙을 가지고> 라는 조건이 붙는 경우가 많음.
• 정의역이 자연수인 함수로 생각할 수 있음.
• 항이 유한 개 있으면 유한수열, 항이 무한히 많으면 무한수열.
• 보통 번째 수를  과 같이 첨자(index)를 사용해서 표시함. 즉, 는 수열. a 대신 다른 알파벳을 써도 무방함.
• 영어로는 Sequence 라고 한다. 이 단어를 <수열> 이라고 번역하는 바람에, 실수열, 함수열, 행렬열, 벡터열, … 이 모두 수열에 속하게 되었다.

 

 

중요한 개념 및 정리

• 일반항 : 번째 수가 무엇인지 알려 주는 식.
  
  • ex) 의 일반항을 가지는 수열 :
     
    
• 점화식 : 항 사이의 관계식을 써서 수열을 나타낸 식.
  
  • ex) 점화식 을 만족하고 첫번째 항이  인 수열 :
  • 번째 수를 알아 내기 위해서는 초항부터 (n-1) 번째 항까지의 모든 수를 다 알아야 한다는 단점이 있지만, 컴퓨터로 큰 항을 계산할 때는 점화식이 더 편리할 때가 많다. 컴퓨터는 정수 계산이 실수 계산보다 훨씬 빠르고, 프로그래밍 과정에서 점화식은 메모리를 거의 차지하지 않도록 할 수 있다. ( 의 과정에서)
  • 점화식에서 일반항을 찾아내는 것은 중요한 문제임.
     
    
• 부분합 : 수열 에서 새로운 수열 을 로 해서 만들어 낼 수 있다. 이 수열 을 의 <부분합> 이라고 부른다.
  즉, :
  
  • 일 때 이므로, 부분합의 일반항을 알면 수열의 일반항을 구할 수 있다.
  • 급수 : 이 무한히 커질 때 부분합 이 어떤 수에 무한히 가까워질 때, 그것을 <급수> 라고 한다.
     
    
• 등차수열
  
  • 2, 5, 7, 11, … 와 같이 일정한 숫자를 더해가는 수열.
  • 일반항 : 처음 항 와 더해 주는 수 가 이루는 등차수열 :
  • 점화식 : . 이때 는 <공차> 라고 부른다.
  • 등차중항 : 연속한 세 수가 등차수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 평균이다.
  • 부분합 : . 어릴 적 가우스의 일화가 있다.
     
    
• 등비수열
  
  • 와 같이 일정한 숫자를 곱해가는 수열.
  • 일반항 : 처음 항 와 곱해 주는 수 이 이루는 등비수열 :
  • 점화식 : . 이때 은 <공비> 라고 부른다.
  • 등비중항 : 연속한 세 수가 등비수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 기하평균이다.
  • 부분합 :
  • (Tip) : 모든 항이 양수인 등비수열인 경우, 각 항에 로그를 취한 수열은 등차수열이 된다.
     
    
• 시그마 기호
  
  • 합을 나타내기 위한 기호. 이 기호를 사용하면 … 등의 표현을 쓰지 않아도 됨.
  • 이다. 여기서  는 다른 문자여도 무방함. 즉
  • , (시그마 기호의 선형성)
  • 예
    
    • : 등차수열의 부분합
    • : 등비수열의 부분합
  • 에 대한 다항식으로 이루어진 수열의 부분합은 구할 수 있다.
    
    • 예
      
      • (전혀 알 필요 없는 식이지만, 알고 싶은 학생을 위하여)
  • 망원급수(telescopic sum) : 교육 과정 외이나 알아 두면 굉장히 도움이 됨. (외우지 말고 꼴을 익혀 주세요)
    
    • 위의 꼴로 수열을 변형시키면 쉽게 부분합을 구할 수 있다.
      
      • ex)
      • ex)
         
        
• 수열의 극한 : 수렴과 발산.
  
  • 무한수열의 항이 어떤 수 에 무한히 가까이 접근해 갈 때, <수열이 에 수렴한다> 라고 말한다.
    
    • ex) 수열 은 로 수렴한다.
    • ex) 수열 은 으로 수렴한다.
    • 이라고 쓰기도 한다.  는 <limit> 에서 따온 기호이고, '리미트' 라고 읽으면 된다. 를 또박또박 예쁘게 쓸 필요는 없다. (사실 거의 아무도 그렇게 안 쓴다. 예쁘게 날려 쓰는(!) 편이 보기에도 좋다. 그래도 처음에는 예쁘게 써 볼것.)
  • 무한수열이 수렴하지 않을 때 <수열이 발산한다> 라고 말한다.
    
    • 수열의 항이 무한히 커져 갈 때 <수열이 (무한대)로 발산한다> 라고 한다.
      
      • ex) 수열 는 무한대로 발산한다.
      • ex) 수열 는 (음의 무한대)로 발산한다.
      • <무한대> 라는 개념은, <어떤 실수보다 큰 수가 존재해서 그 수를 무한대라 한다> 는 것이 아니라, <한없이 커져 가는 상태> 라고 생각해야 한다.
    • 발산하는 수열의 항이 나 로 발산하지 않는 경우 <수열이 진동한다> 라고 한다.
      
      • ex) 수열 는 진동한다.
      • ex) 수열 는 진동한다.
  • 등차수열은 공차 일 때만 수렴하고, 등차수열의 부분합은 모든 항이 일 때만 수렴한다.
  • 공차 인 등비수열이 수렴할 조건은 . ( 이면 진동하고, 이면 초항의 부호에 따라 로 발산. 수렴하는 경우 수렴값은 0 이다.
  • 공차 인 등비수열의 부분합이 수렴할 조건은 . (1이 제외되는 것에 주의, 왜 그럴까?) 수렴한다면 그 수렴값은 이다.
     
    
• 여러 가지 수열
  
  • 계차수열 : 어떤 수열의 각 항의 차로 이루어진 수열.
    
    • ex) 수열 의 계차수열은 가 된다.
    • 수열 의 계차수열이 인 경우
        이다. 여기에서 모든 항을 더하면
      가 되어, 계차수열의 일반항을 아는 경우 원래 수열의 일반항을 알 수 있게 된다.
      
  • 군수열 : 적절히 그룹을 지어 규칙을 찾아낼 수 있는 수열.
     
    
• 점화식(푸는 법).
  
  • Tip) 점화식을 유형별로 분류하여 일반항을 외우지 않는 것을 추천함. 익숙해지면 기본적인 점화식으로 변형해서 푸는 것이 더 빨라짐. 제발 부탁이니 수많은 점화식을 다 외우는 뻘짓을 하지 않기를 바랍니다. 제발 부탁입니다. 
    
  • 점화식을 푸는 것이란 : 점화식이 만족하는 수열의 일반항을 알아 내는 것.
  • 보통의 경우 초기항이 주어져야 완전한 답을 낼 수 있다.
  • 기본적인 점화식:
    
    • : 등차수열
    • : 등비수열
    • : 위의 <계차수열> 참고.
    • : 계차수열을 통한 풀이에서, <모든 항을 더하>지 않고 <모든 항을 곱하>면 됨.
  • 기본 점화식의 응용
    
    • 
      
      • 양변에 적당한 상수를 더하면 꼴로 만들 수 있다.
      • 일반항이 인 수열은 공비 인 등비수열,
      • 적당한 상수 는 어떻게 찾냐고? 생각해 볼 것.
         
        
      • ex) , 초기항 1
        양변에 3을 더하면 , 적당한 상수 에 대하여
        초항을 만족시키는 값은 2이므로,
        
    • 점화식에 덧셈 기호가 없을 때
      
      • 로그를 취하면 도움이 됨. 로그의 밑은 계산이 간단하도록 적절히 선택하기.
         
        
      • ex) : 밑 2 인 로그를 취하면
        이제 에 대한 점화식을 풀면 됨. (양변에 2를 더해서 …)
        
    • 점화식이 분수꼴일때
      
      • 역수를 취하면 도움이 될 때가 많음. (만능은 아님)
         
        
      • ex) : 역수를 취하면 . 이제 에 대한 점화식으로 보고 풀면 됨.
    • 꼴의 점화식
      
      • 일 때
        
        • 잘 정리하면 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 에 대한 등차수열이라고 생각하고, 을 구한다.
        • 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
      • 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)
        
        • 결론부터 말하자면,
          
          • 의 두 근을 라 하면, 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
          • 중근 를 가지는 경우에는 꼴이 된다.
        • 의 두 근 에 대하여, 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로
          라고 쓸 수 있다.
          
        • 이제 으로 쓸 수 있다. 에 대한 등비수열을 풀기.
          로도 쓸 수 있다. 에 대한 등비수열을 풀기.
          
        • 연립해서 을 소거하면 끝!
        • 이 점화식을 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.
           
          
        • ex)
• 꼴의 점화식
  
  • 양변을 로 나눈 후, 에 대한 점화식을 푸는 것이 한 방법. 이 등비수열인 경우 효과적이다.
  • 양변에 적당히 에 대한 식을 더해서 공비 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.