슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 25일 (수) 04:44 판
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개요
  • 복소함수 f 에 대하여, 슈바르츠 미분을 다음과 같이 정의함
    \((Sf)(z) = \left({f''(z) \over f'(z)}\right)' - {1\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2\)
    \( = {f'''(z) \over f'(z)}-{3\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2\)
  • \(\{f,z\}:=(Sf)(z)\)

 

 

뫼비우스 변환
  • \(F(z)=\frac{af(z)+b}{cf(z)+d}\) 일 때, \(\{f,z\}=\{F,z\}\) 가 성립한다
  • \(\{f,z\}=0\) 이면, \(f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\)

 

 

이계 선형 미분방정식
  • 다음 형태의 이계 선형 미분방정식을 생각하자
    \(u''(z)+P(z)u(z)=0\)
  • \(u_1(z), u_2(z)\) 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, \(w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}\) 는 다음 미분방정식의 해이다
    \(\{w,z\}=2P(z)\)

 

 

슈바르츠 s-함수

(정리)

복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수 \(w=s(z)\)는 다음 초기하미분방정식\(z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0\) 의 선형독립인 두 해, \(y_1(z),y_2(z)\) 의 비로 표현할 수 있다. 즉 \(w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\) 이다.

여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).

 

(증명)

\(P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\) 라 하자.

원하는 해석함수는 미분방정식 \(\{w,z\}=2P(z)\)의 해이다. 

위에서 서술한대로

\(u''(z)+P(z)u(z)=0\)의 선형독립인 두 해. \(u_1(z), u_2(z)\)

 

이계 선형 미분방정식 에서 얻은 결과에 따라

  • \(w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\) 

 

 

 

 

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