열방정식
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개요
- 열의 전달을 기술하는 편미분방정식
\(\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0\)
- 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u\)
경계조건과 초기조건
- 경계조건
\(u(x,t)=u(L,t)=0\) - 초기조건
\(u(x,0)=f(x)\)
변수분리를 통한 해
\(u(x,t)=X(x)T(t)\)로 두자.
\(X''(x)=K_{n}X(x)\)
\(T'(t)=\beta K_{n}T(t)\)
여기서 \(K_{n}=-(\frac{n\pi}{L})^2, \n=1,2,3,\cdots\)
\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) 는 위의 열방정식의 해이다.
자코비세타함수와 열방정식
\(\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)\)
\(\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)\)
재미있는 사실
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역사
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- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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