오일러 치환
\(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정
\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분
- 다음과 같은 치환적분을 사용
\(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)
\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분
-
다음과 같은 치환적분을 사용
\(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
\(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)
\(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
- \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
\(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
- \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
\(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
- \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
- \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
- \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다.
중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다.
\(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다.
즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자.
그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?
\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?
하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!
이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.
일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다.
\(\int R(x,y)\,dx\)
여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)는 \(x\)의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.
타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이가 \(4aT(k)\) 로 주어지기 때문이다. 여기서 \(k,T(k)\) 는 다음과 같다.
\(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문을 만나게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다.
나는 비율판정법을 말할 때에는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 타원적분을 말해주는 교육을 꿈꾼다.
그리고 나는 여전히 많은 사람들이 피리부는 사나이가 되기를 바란다. 그것이 애들을 꼬시는 사나이든지, 쥐새끼 잡는 사나이든지 간에.
이번 학기에는 미적분학 조교를 하고 있다. 요며칠간 삼각치환과 유리함수를 부분분수로 분해하여 적분하는 기술들을 가르치고 있다. 가르칠 때 말고서야, 쓸 일이 거의 없는 것이지만 그래도 이런 기술들이 작동하는 것을 보면 여전히 신기하다. 미적분학 시간에야 아이들한테 책에 나오는 기술들 가르쳐주고, 사용방법 보여주기도 빠듯하지만,
삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다.
오일러의 적분정리
임의의 2변수 유리함수 \(R(x,y)\) 에 대하여, \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.
이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.
위의 정리가 적용되는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.
무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!
드무아브르의 중심극한정리(iv) : 가우시안의 눈부신 등장 에서도 다음과 같은 말을 써놓았었는데, 이것은 미적분학을 배우는 1학년들에게도 적용되는 말이다.
잠시 여담이 지만, 이렇게 중고딩 교과서에 ‘~임이 알려져 있다’라고 하는 부분은 사실 교사에게도 학생에게도 크게 중요한 것은 아닐 것이다. 그러나 나의 경험으로 볼 때, 이 순간이야말로 선생님들이 어린 아이들의 가슴 속에 세상에 매우 긍정적인 야망을 심어줄 수 있는 좋은 찬스인 것이다. 바로 이런 곳에 더 높은 수준의 학문을 향한, 학생들이 밟을 수 있는 디딤돌이 놓여져 있는 사회가 건강하고 튼튼한 것이라는 믿음하에 이 글은 작성되고 있다.
바로 이런 지점들이 꼬맹이들을 눈부신 수학의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간인데, 그냥 기교적으로만 보이는 적분의 기술을 가르치는 시간에도 이러한 기회들은 분명히 존재한다. 좋은 선생은 이런 순간들을 절대로 놓쳐서는 안된다. 단순한 기교 너머에 심오하고 휘황찬란한 세계가 존재하고 있음을 알려줘야 하는 것이다.
수학문명을 건설하기 위해서는 많은 사람이 필요하고, 이를 위해서는 수많은 수학 교사와 수학 교수들이 합심하여 사람을 잘 키우고 수학을 제대로 잘 가르치는 일에 많은 신경을 써야하는데, 장차 이를 어찌 해나갈 것인가 생각하면 ... 이 역시 정치개혁만큼이나 깜깜한 듯 하다.
지금은 연습문제 풀어주기 바쁜 조교이기 때문에, 이러한 것들을 언급할 때는 아니지만, 그래도
삼각치환은 왜 작동하는가?
\(y^2=ax^2+bx+c\)를 \(t\)에 대한 유리함수로 매개화하는 것이 가장 중요한 아이디어이다.
\(y-y_0 = t(x-x_0)\) passing through a point \((x_0,y_0)\)
In the case when , that is, when (2) is a hyperbola, the first Euler substitution is obtained by taking \((x_0,y_0)\) as one of the points at infinity defined by the directions of the asymptotes of this hyperbola;
when the roots and of the quadratic polynomial \(ax^2+bx+c\) are real, the second Euler substitution is obtained by taking as \((x_0,y_0)\) one of the points or ;
finally, when , the third Euler substitution is obtained by taking as \((x_0,y_0)\) one of the points where the curve (2) intersects the ordinate axis, that is, one of the points .
http://www.integral-table.com/
\(\int \sqrt{x^2+1}\,dx\)
http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm
http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
multiply out. Since we can factor the polynomial and one root is 2, we can also use the 3. Euler substitution:
Euler substitutions Substitutions of the variable in an integral
where is a rational function of its arguments, that reduce (1) to the integral of a rational function. There are three types of such substitutions.
The first Euler substitution: If , then
The second Euler substitution: If the roots and of the quadratic polynomial are real, then
The third Euler substitution: If , then
(Any combination of signs may be chosen on the right-hand side in each case.) All the Euler substitutions allow both the original variable of integration and to be expressed rationally in terms of the new variable .
The first two Euler substitutions permit the reduction of (1) to the integral of a rational function over any interval on which takes only real values.