오일러 치환

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 5월 30일 (일) 04:05 판
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개요
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수치환 \(x=x(t)\)
  • 유리함수의 적분은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
  • 이차곡선\(y^2=ax^2+bx+c\)를 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\)로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
  • 삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
  • 타원적분론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다

 

 

제1오일러치환
  • \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
  • 예
    \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
    \(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
    \(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 

제2오일러치환
  • \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  • 예
    \(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\)
    \(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
    \(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
    \(\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\)

 

 

제3오일러치환
  • \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
  • 예
    \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
    \(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
    \(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 

 

타원적분
  • 유리함수 R에 대한 \(R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\) 의 부정적분
    \(\int R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx\)
    단, \(x^3+ax^2+bx+c\)는 서로 다른 해를 가짐
  • 곡선 \(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)는 위에서처럼 적당한 유리함수 \(x=f(t), y=g(t)\) 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
  • 타원적분

 

 

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