오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
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간단한 소개
\(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}\)
\((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)
증명
- 자코비의 triple product의 특수한 경우임
\(\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}\)
\(q=x^{3/2}\), \(z=-x^{1/2}\)로 두면, 다음을 얻는다
\(\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right)\)
\(\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}\)
재미있는 사실
역사
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수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/pentagonal_number_theorem
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=pentagonal+numbers
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- Euler and the pentagonal number theorem
- Bell, Jordan
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- Euler's Pentagonal Number Theorem
- George E. Andrews, Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 279-284
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