오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

수학노트
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개요

\(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}\)

\((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)

 

 

오각수

[/pages/4145675/attachments/2083649 pentagonal-numbers.gif]

  • 1, 5, 12, 22, 35,...
    \(\frac{n(3n-1)}{2}\)

 

 

일반화된 오각수
  • \((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)에 등장하는 수
  • \(k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}\) 꼴로 주어짐 (\(j=1,2,3\cdots\))

 

 

증명
  • 자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다
    \(\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}\)
    \(q=x^{3/2}\), \(z=-x^{1/2}\)로 두면, 다음을 얻는다
    \(\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)\)
    \(\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}\)
  • 삼중곱에 대해서는 자코비 세타함수 항목 참조

 

 

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