원분다항식(cyclotomic polynomial)

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원분다항식(cyclotomic polynomial)

개요

원분체 (cyclotomic field) 의 연구에서 다룰 수 있는 주요 대상
오래전 방정식과 근의 공식 연구의 중요한 실험장

정의

$\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)$
- 여기서 $\omega$는 primitive n-th root of unity (단위근)
차수는 오일러의 totient 함수 를 사용하여 $\varphi(n)$ 로 표현됨

원분다항식의 상호법칙

$\Phi_n(x) \pmod p$ 가 어떤 소수 $p$ 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제

(정리)

$p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$의 order가 $r$이라 하자. 즉 r이 $p^r=1\pmod n$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 $\Phi_n(x) \pmod p$ 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 $\Phi_n(x) \pmod p$의 분해는, $p\pmod n$에 의해 결정된다.

(증명)

원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 $\Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p$ 를 얻고, $f_1$의 차수가 s라고 하자.

$\mathbb{F}_p$의 적당한 체확장에서 기약다항식 $f_1$의 근 $\alpha$ 를 찾자. 그러면, $\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}$ 을 얻는다.

$f_1(\alpha)=0$ 이므로, $\Phi_n(\alpha)=0$이고, 따라서 $\alpha^n=1$ 이다.

유한체 $\mathbb F_{p^s}$ 는 방정식 $x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)$ 의 근으로 구성되므로, $n|{p^s-1}$ 을 얻는다.

그러므로, $s\geq r$ 이다.

이제 $s\leq r$ 임을 보이자. r의 정의로부터, $n | p^r-1$ 임을 안다.

따라서 $\alpha^{p^r-1}=1$ 즉 $\alpha^{p^r}=\alpha$ 가 된다. 이는 $\alpha\in \mathbb F_{p^r}$ 임을 의미한다.

$\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}$ 이므로, $s\leq r$ 이다.

따라서 $r=s$ 임이 증명된다. ■

(따름정리)

$n | p-1$ $\iff$ $\Phi_n(x) \pmod p$는 일차식들로 분해된다

(증명)

위의 정리에서 $r=1$인 경우에 해당한다 ■

원분다항식 목록

$\begin{array}{l|ll} & $\phi (n) & \phi _n(x) \\ \hline 1 & 1 & -1+x \\ 2 & 1 & 1+x \\ 3 & 2 & 1+x+x^2 \\ 4 & 2 & 1+x^2 \\ 5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\ 6 & 2 & 1-x+x^2 \\ 7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ 8 & 4 & 1+x^4 \\ 9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\ 10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\ 11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\ 12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\ 13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\ 14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\ 15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\ 16 & 8 & 1+x^8 \\ 17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\ 18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\ 19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\ 20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}$

원분다항식(cyclotomic polynomial)

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

정의

원분다항식의 상호법칙

원분다항식 목록

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