이차곡선(원뿔곡선)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 10일 (일) 11:34 판
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개요
  • 곡선의 방정식이 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 형태로 주어지기 때문에, 이차곡선이라고 부름.
  • 이차곡선은 모두 원뿔의 단면을 통해서 얻어지기 때문에, 원뿔곡선(원추곡선) 이라고 불려지기도 함.
  • 이 두 가지 관점을 모두 가지고 이해하는 것이 좋다.

 

원뿔곡선
  • 원뿔의 축과 단면이 이루는 각도에 따라 다른 곡선들이 얻어진다
  • 원은 축과 단면이 수직인 경우에 얻어짐
  • 쌍곡선은 축과 단면이 평행한 경우에 얻어짐
  • 타원은 축과 단면이 수직, 평행하지 않고, 원뿔의 모선과 평행하지 않은 경우에 얻어짐
  • 포물선은 단면이 원뿔의 모선과 평행한 경우에 얻어짐

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곡선의 방정식과 이차곡선
  • 원뿔곡선의 방정식은 일반적으로 좌표평면에서 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\) 형태로 주어지며, 이차곡선이라 부르기도 한다
  • \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)형태로 주어진 식은 다음과 같은 곡선을 나타낼 수 있다
    • 공집합
    • 직선, \(a=b=c=0\)인 경우
    • 두 직선의 방정식이 곱해진 경우
    • 포물선
    • 타원
    • 원
    • 쌍곡선
  • 판별식 \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 이차식이 이차곡선을 나타내는 경우(즉 공집합이나, 두 직선을 표현하는 경우가 아닐때), 판별식을 통하여 이차곡선이 무엇인지를 알 수있다
    • \(\Delta<0\)인 경우, 타원. 이 때, \(a=c\)인 경우는 원
    • \(\Delta=0\)인 경우, 포물선
    • \(\Delta>0\)인 경우, 쌍곡선

 

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들
  • 변환
    • 평행이동
    • 회전변환

 

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    • 대칭행렬의 대각화
    • 고유벡터, 고유값
    • 이차형식의 대각화
  • 대수기하학
    • 다항식으로 정의되는 도형에 대한 일반화 및 체계적인 공부

 

 

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[한석원의 수리논술 포물선과 쌍곡선의 성질]

  • 조x일보, 2007.07.05
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