정이면체군 (dihedral group)

수학노트
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개요
  • 정n각형의 자기동형군
  • 크기가 2n이며 이면군 \(D_n\)이라 부른다
  • 생성원과 관계식
    \(\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle\)
  • 콕세터군 으로서의 생성원과 관계식
    \(\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle\)

 

 

반사 변환과 회전
  • 벡터 \((\cos (\theta ),\sin (\theta ))\)를 법벡터로 갖는 직선에 대한 반사변환을 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다
    \(s_{\theta}=\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\)
  • 두 반사 변환의 합성 \(s_{\theta_1}s_{\theta_2}\)은 다음과 같은 회전변환이 된다
    \(\left( \begin{array}{cc} \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & -\sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \\ \sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \end{array} \right)\)

 

 

이면군의 기하학적 이해
  • 이면군 \(D_n\)은 정n각형의 자기동형군으로 이해할 수 있다
  • 다음 두 반사변환은 생성원이 된다
    \(x=\left( \begin{array}{cc} -\cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\)
    \(y=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\)
  • x와 y의 합성으로부터, 다음 회전변환을 얻는다
    \(\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\)

 

 

역사

 

 

 

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