초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 7일 (목) 03:15 판
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개요
  • \(0,1,\infty\) 세 점에서 정규특이점을 가지는 2계 선형 미분방정식
  • 다음과 같은 미분방정식을 말함
    \(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
  • 리만구면 상의 네 점에서 정규특이점을 갖는 미분방정식은 초기하미분방정식으로 변형가능
  • 19세기에 활발하게 연구
  • Fuchsian 미분방정식의 간단하고 중요한 예로 이론의 모델을 제공

 

 

급수해

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\)

여기서 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호

 

 

쿰머의 24개 해
  • \(0,1,\infty\) 각 세 점에서의 급수해를 통해 서로 다른 여섯개의 해를 얻고, 오일러-가우스 초기하함수에 서술된 오일러 변환을 통해 각 해의 여섯가지 표현을 얻어 24개를 얻는다
  • \(z=0\)에서의 급수해
    \(_2F_1(a,b;c;z)\)
    \(z^{1-c}{}_2F_1(b+1-c,a+1-c;2-c;z)\)
  • \(z=1\)에서의 급수해
    \(_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z)\)
    \((1-z)^{c-a-b}{}_2F_1(c-a,c-b;c+1-a-b;1-z)\)
  • \(z=\infty\)에서의 급수해
    \(z^{-a}{}_2F_1(a,a+1-c;a+1-b;z^{-1})\)
    \(z^{-b}{}_2F_1(b+1-c,b;b+1-a;z^{-1})\)

 

 

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