최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 1일 (목) 13:05 판 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
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개요==
  • 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
  • 1697년에 베르누이에 의하여 답이 출판
    [/pages/4402517/attachments/3980829 ParabNickF.gif]
    [1] 곡선의 시작점을 \((x_0,y_0)=(0,0)\), 끝점을 \((x_1,y_1)\)라 두자. 곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다. \(t=\int \frac{1}{v} \, ds\)(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간) 에너지 보존 법칙 \(mgy=\frac{1}{2}mv^2\)  에서\(v=\sqrt{2gy}\). 이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은 \(T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy\) 문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다. \(F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}}\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식 을 적용하면, \(0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})\) 적당한 상수 a에 대하여 \(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}\)라 두자. 이를 풀면 미분방정식  \(\frac{dx}{dy}=\sqrt{{\frac{y}{2a-y}}\) 를 얻는다. (미분방정식의 여러 해에 대한 논의는 http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm)  \(x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy\) \(y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)\)로 치환하면, \(x=a(\theta-\sin\theta)\)를 얻는다. 여기서 상수 a는 주어진 점 \((x_1,y_1)\)를 지날 수 있는 값으로 결정된다. 따라서 사이클로이드를 얻었다.■    

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