측지선

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 20일 (금) 05:10 판
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개요
  • 다양체 M의 coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t),\cdots)\) 로 표현되는 곡선이 측지선이 될 조건은 크리스토펠 기호를 사용하여 다음 미분방정식으로 쓸 수 있다
    \(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \sum_{i,j}\Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
    또는
    \(\ddot{\alpha_k } + \sum_{i,j}\Gamma^{k}_{~i j }\dot{\alpha_i}\dot{\alpha_j }= 0\)

 

 

곡면의 측지선
  • 곡선 (\((x(t),y(t))\) 가 다음의 미분방정식을 만족해야 한다
    \(\frac{d^2 x }{dt^2} + \Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{~2 1 }}\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0\)
    \(\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt}+\Gamma^{2}_{~2 2 }\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0\)

 

 

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