타원적분(통합됨)

타원 둘레의 길이

• 역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
• 타원  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 다음과 주어짐.
   
   
  

\(4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta\)

\(=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)\)

 \(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

 

 

타원적분

• 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름

\(\int R(x,y)\,dx\)

여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)는 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.

• 예를 들자면,
  
  •  \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)
  • \(\int \frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

 

 

타원적분의 예

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 타원

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 타원적분, 타원함수, 타원곡선
  
  • lemniscate 적분
  • 타원함수
  • 타원곡선
  • 란덴변환(Landen's transformation)
• 자코비 세타함수
• 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수

 

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral

 

참고할만한 자료

• In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions - Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered.
  
  • Rice, Adrian, 48-57
  • The Mathematical Intelligencer, Volume 30, Number 2 / 2008년 3월
• The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals
  
  • AYOUB R