최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)

이 항목의 스프링노트 원문주소

곡선의 시작점을 \((x_0,y_0)=(0,0)\), 끝점을 \((x_1,y_1)\)라 두자.

곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.

\(t=\int \frac{1}{v} \, ds\)(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간)

에너지 보존 법칙 \(mgy=\frac{1}{2}mv^2\) 에서\(v=\sqrt{2gy}\).

이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은

\(T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy\)

문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다.

\(F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}}\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식 을 적용하면,

\(0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})\)

적당한 상수 a에 대하여 \(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}\)라 두자.

이를 풀면 미분방정식 \(\frac{dx}{dy}=\sqrt{{\frac{y}{2a-y}}\) 를 얻는다.

\(x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy\)

\(y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)\)로 치환하면, \(x=a(\theta-\sin\theta)\)를 얻는다.

여기서 상수 a는 주어진 점 \((x_1,y_1)\)를 지날 수 있는 값으로 결정된다.

따라서 사이클로이드를 얻었다.■