영거리 과정 - 응집전이

영거리 과정(zero range process; ZRP)에 대한 이전 글들을 참고하세요. 이 글 역시 에반스와 해니의 <저널 오브 피직스 에이>에 실린 리뷰 논문을 따릅니다. 서론은 빼고 일단 가봅시다.

큰 바름틀 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.

\(Z_L(z)=[F(z)]^L,\ F(z)=\sum_{m=0}^\infty z^mf(m)\)

이걸 구해야 이로부터 원하는 양들을 얻어낼 수 있는데요, 위의 F를 보면 이게 수렴하는지 아닌지부터 따져봐야 합니다. 이러한 거듭제곱 급수가 어떤 z에서는 수렴하다가도 다른 z에서는 수렴하지 않을 수 있는데 이를 나누는 값을 수렴반지름(radius of convergence)이라 합니다. 수렴반지름이 무한대라면 모든 z에 대해 F는 수렴하는 거고요. F의 수렴반지름을 β라 합시다. 입자의 밀도는 다음과 같습니다.

\(\rho=z\frac{F'(z)}{F(z)}\)

밀도는 z의 증가함수인데 (미분해보면 압니다) z=β에서 최대값을 가집니다.

\(\rho_c=\beta\frac{F'(\beta)}{F(\beta)}\)

그런데 이 ρ_c가 무한하다면 임의의 z에 대해 ρ가 존재하고요. 만일 ρ_c가 유한하다면 이보다 더 큰 밀도에서 위의 식들을 이용할 수 없게 됩니다. 여기서 '응집(condensation)'이 나타난다고 하네요. 쉽게 말해 공간(L)은 한정되어 있는데 입자를 마구 때려넣다(ρ 증가)보면 어떤 자리에 입자들이 많이 몰리기 시작한다는 겁니다. 여기서 '많이'는 입자의 총 개수의 상수배 정도 되는 양입니다. 이렇게 생긴 응집(즉 덩어리)은 위의 분배함수로는 기술할 수 없는 현상인데, 수학적으로는 F가 발산하는 거겠죠.

조금 더 구체적인 예를 봅시다.

\(f(n)\sim \frac{A}{\beta^nn^b}\)

이걸 맨위 F(z)에 넣고 다시 ρ_c를 구하는 식에 넣어주면,

\(\rho_c\sim \frac{\sum n^{1-b}}{\sum n^{-b}}\)

이 나옵니다. b가 2보다 크면 수렴할테고 그러면 앞서 말했듯 ρ를 ρ_c보다 크게 만들면 응집이 나타난다고 볼 수 있겠죠. 이제 각 자리에 있는 입자 개수의 분포 p(n)도 구해봅니다.

\(p(n)=\frac{z^nf(n)}{F(z)}\simeq \frac{(z/\beta)^n}{F(z)}\frac{A}{n^b}\sim n^{-b}e^{-n/n_0},\ n_0=\frac{1}{|\ln (z/\beta)|}\)

b가 2보다 작거나 같은 경우, ρ_c는 발산하며 위 식처럼 절단(cutoff)이 있는 거듭제곱 분포가 나옵니다.

보면, z가 β보다 작으면 지수함수가 두드러지게 나타나고, z가 β가 되는 순간 깔끔한 거듭제곱 분포가 나타나는데,