XY 모형

\(H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\vec S_i\cdot\vec S_j\)

위와 같은 하이젠베르크 모형에서 스핀을 2차원 평면 위의 고전적 스핀으로 생각하겠습니다.

\(\vec S_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i,0)\to H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j)\)

이걸 XY 모형이라고 부릅니다. XY 평면 위에서 정의된 스핀이라 그렇게 이름이 붙여진 것 같네요. 온도가 매우 낮아서 스핀들이 거의 같은 방향이라고 합시다. 그럼 코사인 항을 전개할 수 있습니다.

\(H=-\frac{qNJ}{2}+\frac{J}{2}\sum_{\langle ij\rangle}(\phi_i-\phi_j)^2=E_0+\frac{J}{2a^{d-2}}\int d^dr\nabla\phi\cdot\nabla\phi\)