요르단-위그너 변환 (Jordan-Wigner transformation)

2차원 이징 모형을 푸는 방법 중 하나(사실 이것밖에 모름;;;)를 쓰려고 하는데요, 여기에 쓰이는 요르단-위그너 변환을 미리 소개합니다. 이징 스핀이 +1 또는 -1의 값을 갖는데, 각각을 다음과 같은 벡터로 나타냅니다.

\($|+\rangle=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix},\ |-\rangle=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$\)

스핀을 -1에서 +1로, 또는 +1에서 -1로 뒤집으려면 아래 행렬을 곱해줍니다.

\(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}:\ \sigma^+|-\rangle=|+\rangle,\ \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}:\ \sigma^-|+\rangle=|-\rangle\)

M개의 스핀이 원의 둘레 위에 균일하게 놓여 있다고 합시다. 번호를 붙이면 1번부터 M번입니다. 여기서 j번째 스핀에 작용하는 파울리 연산자(Pauli operator) σ를 페르미온 연산자(fermion operator)로 변환시켜주는 게 요르단-위그너 변환(제 맘대로 줄여서 J-W)입니다.

\(\sigma_j^+ =\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} c_j^\dagger,\ \sigma_j^- =\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} c_j\)

그럼 페르미온 연산자는 뭐냐... 페르미온 입자를 생성하기도 하고(†가 붙은 c) 소멸시키기도 하는(†가 없는 c) 연산자를 말합니다. 입자가 없는 진공 상태를 |>로 나타내겠습니다. 이 진공에 생성연산자를 이용해서 j라는 입자를 만들겠습니다.

\(c_j^\dagger |\rangle=|j\rangle\)

j를 없애볼까요?

\(c_j|j\rangle=|\rangle\)

증명은 하지 않겠지만 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 만족시킵니다.

\([c_j,c_m^\dagger]_+\equiv c_jc_m^\dagger+ c_m^\dagger c_j =\delta_{jm},\ [c_j,c_m]_+ = [c_j^\dagger,c_m^\dagger]_+ =0\)