여러겹 쪽거리(multifractal)와 f-α 표현

오늘 소개할 논문은 여러겹 쪽거리(multifractal)에 관한 건데요, 카다노프가 공동저자로 참여했고 1저자는 Halsey(핼시?)입니다. 1986년에 <피지컬 리뷰 에이(PRA)>에 실린 논문인데 아는 분이 알려주셔서 읽어보았습니다.

어떤 대상을 잘게 조각낸다고 합시다. 각 조각을 그것의 크기와 이외의 다른 성질, 이를테면 마구걷개가 이 조각을 방문할 확률 같은 걸로 기술한다고 합시다. 길이가 l 정도 되는 조각을 방문할 확률 p와 그런 조각들의 개수(또는 이를 전체 조각의 개수로 나눈 밀도)를 ρ라고 합시다.

\(p\sim l^\alpha,\ \rho\sim l^{-f(\alpha)}\)

단순한 눈금잡기가 적용되는 시스템이라면 α나 f(α)는 하나의 값만을 가지겠지만, 좀더 복잡한 시스템이라면 α나 f(α)가 여러 값을 갖거나 연속적인 값을 가질 수도 있습니다. 전자의 경우를 그냥 쪽거리(fractal)라 한다면, 후자는 여러겹 쪽거리라 할 수 있습니다. 여기서 α는 특이성(singularity)에 관한 지수라고 하고(걍 특이성 지수라고 부르겠습니다), f(α)는 밀도 지수(density exponent)라 부릅니다.