여러겹 쪽거리(multifractal)와 f-α 표현

오늘 소개할 논문은 여러겹 쪽거리(multifractal)에 관한 건데요, 카다노프(Leo Kadanoff)가 공동저자로 참여했고 1저자는 T. Halsey(핼시?)입니다. 1986년에 <피지컬 리뷰 에이(PRA)>에 실린 논문인데 아는 분이 알려주셔서 읽어보았습니다. 또한 1988년에 <네이처>에 실린 스탠리(H.E. Stanley)의 짧은 리뷰 논문도 참고했습니다.

어떤 대상을 잘게 조각낸다고 합시다. 각 조각을 그것의 크기와 이외의 다른 성질, 이를테면 마구걷개가 이 조각을 방문할 확률 같은 걸로 기술한다고 합시다. 길이가 l 정도 되는 조각을 방문할 확률 p와 그런 조각들의 개수(또는 이를 전체 조각의 개수로 나눈 밀도)를 n이라고 합시다.

\(p\sim l^\alpha,\ n\sim l^{-f(\alpha)}\)

단순한 눈금잡기가 적용되는 시스템이라면 α나 f(α)는 하나의 값만을 가지겠지만, 좀더 복잡한 시스템이라면 α나 f(α)가 여러 값을 갖거나 연속적인 값을 가질 수도 있습니다. 전자의 경우를 그냥 쪽거리(fractal)라 한다면, 후자는 여러겹 쪽거리라 할 수 있습니다. 여기서 α는 특이성(singularity)에 관한 지수라고 하고(걍 특이성 지수라고 부르겠습니다), f(α)는 밀도 지수(density exponent)라 부릅니다.

이제 아래와 같은 양을 생각해보겠습니다.

\(\chi(q)=\sum_i p_i^q=\sum_p n(p)p^q=\sum_p e^{F(p)},\ F(p)=\ln n(p)+q\ln p\)

여기서 i는 앞에서 말한 각 조각에 붙은 번호입니다. p라는 확률을 가진 조각의 개수를 n(p)라고 하고, 이 식을 다시 변형하면 맨 오른쪽처럼 쓸 수 있습니다. F(p)를 최대로 하는 p를 p^*라고 하면, 다음처럼 어림할 수 있습니다.

\(\chi(q)\approx n(p^*)(p^*)^q\sim l^{q\alpha-f(\alpha)}\)

그러므로 아래 왼쪽처럼 정의된 차원 D_q는 α와 f(α)로 다시 쓸 수 있습니다.

\(D_q=\lim_{l\to 0}\left[\frac{1}{q-1}\frac{\ln\chi(q)}{\ln l}\right]=\frac{1}{q-1}\left[q\alpha(q)-f(\alpha(q))\right]\)

다음으로, 위의 χ보다 좀더 일반적인 분배함수 Γ를 정의합니다.

\(\Gamma(q,\tau,l)=\sum_i\frac{p_i^q}{l_i^\tau},\ l_i<l\)

여기서도 i는 각 조각에 매겨진 번호이고 l_i와 p_i는 그 조각의 크기와 방문 확률입니다. χ로부터 D_q를 구할 때에는 p가 같은 조각들은 모두 같은 크기를 갖는다고 가정했으나 여기서는 크기가 서로 다른 일반적인 경우를 다룹니다. 암턴;;; 이 식을 위의 방법대로 다시 쓰면,

\(\Gamma(q,\tau,l)=\sum_pn(p)\frac{p^q}{l^\tau}\sim l^{-f(\alpha)+q\alpha-\tau}\)

이 됩니다. l이 0으로 가는 극한에서 이 값이 0도 무한대도 아니려면 l 위의 지수가 0인 조건을 만족시켜야 합니다. 앞에서 얻은 결과를 이용하여 한꺼번에 쓰면 다음과 같습니다.

\(\tau(q)=q\alpha(q)-f(\alpha(q))=(q-1)D_q\)

그럼 변형된 칸토어 집합(Cantor set)에 대해 이 방법을 적용해보겠습니다. 길이가 1인 선분을 길이가 l₁, l₂인 두 개의 선분만 남기고 지웁니다. 남은 각 선분을 방문할 확률은 각각 p₁, p₂라고 합시다. 여기서는 다음 조건을 만족하는 경우만 생각합니다.

\(l_1+l_2<1,\ l_1<l_2,\ p_1+p_2=1\)

남은 각 선분을 역시 같은 방법으로 자릅니다. 그러면 길이가 l₁의 제곱인 선분 1개, l₁l₂인 선분 2개, l₂의 제곱인 선분 1개가 생깁니다. 이런 식으로 n번 쪼개고 나면 2ⁿ개의 조각들이 생길 겁니다. 그러면 위의 분배함수는 아래처럼 쓸 수 있습니다.

\(\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\frac{p_1^q}{l_1^\tau}+\frac{p_2^q}{l_2^\tau}\right]^n=\sum_m{n\choose m}\frac{p_1^{mq}p_2^{(n-m)q}}{(l_1^ml_2^{n-m})^\tau}\)

여기서도 가장 큰 항만 보겠다고 한다면